Fungsi Non Linier adalah fungsi yang berderajat lebih dari satu. Bentuk kurva dalam fungsi non linier bukan garis melainkan garis lengkung. Fungsi Non Linier adalah fungsi grafiknya tifak berupa garis. Benutk - Bentuk fungsi Non Linier yang paling sering dijumpai dalam analaisis ekonomi adalah :
1. Fungsi Kuadrat/Parabolik
2. Fungsi Kubik
2. Fungsi Eksponensial
4. Logaritmatik
Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua dan grafiknya akan berbentuk parabola.
Benutk Umum Fungsi Kuadrat :
Dimana :
a,b : Merupakan koefisien, dan a ≠ 0
c : Merupakan Konstanta
x : Merupakan Variabel bebas
y : Merupakan Variaberl tidak bebas
Grafik berikut merupakan kuadrat fungsinya tergantung dari besar kecilnya nilai-nilai bilangan-bilangan a,b,c dan apakah bilangan tersebut positif, negatif ataukah nol. yang perlu diperhatikan adalah bahwa bentuk garis lurus seperti fungsi linier, akan tetapi berbentuk garis melengkung dan bentuknya tergantung kepada bagaimana nilai-nilai a,b serta c
Lengkungan grafik tersebut bisa berbentuk salah satu dari empat kemungkinan bentuk potongan kerucut : lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.
Bentuk umum fungsi non linier yang sering diterapkan dalam ekonomi adalah parabola baik yang terbuka ke atas (menunjukkan titik minimum) maupun yang terbuka ke bawah (menunjukan titik maksimum) parabola mempunyai titik puncak (vertex) yaitu titik dimana fungsi tersebut berubah arah, koordinat titik puncak suatu parabola dirumuskan sebagai berikut :
untuk menyelesaikan permasalahan mencari nilai-nilai X pada suatu fungsi, bisa dilakukan dengan memberikan notasi 0 (nol) untuk Y, sehingga apabila Y=0, diperoleh persamaan baru.
Nilai b²-4ac sering disebut dengan diskriminan (D). nilai diskriminan ini yang akan menentukan apakah parabola tersebut menyinggung, memotong atau tidak terhadap sumbu X. pada fungsi tersebut diatas, maka parabola disebut parabola vertikal dengan bentuk kurva menghadap ke atas atau ke bawah.
Dalam kasus-kasus ekonomi, bentuk kurva parabola yang demikian ini banyak ditemukan pada fungsi pendapatan dan biaya. apabila merupakan fungsi biaya biasanya mempunyai nilai minimum dengan bentuk kurva parabola menghadap ke atas, sementara apabila merupakan grafik dari fungsi pendapatan maka parabola akan mempunyai nilai maksimum dengan bentuk menghadap ke bawah.
Terdapat macam - macam bentuk parabola vertikal yang umum yaitu :
1. Jika a > 0 dan D > 0 maka parabola akan mempunyai nilai minimum dan grafiknya terbuka ke atas serta memotong sumbu X di dua titik yang berlainan
2. Jika a > 0 dan D = 0, maka parabola akan mempunyainilai minimum dan terbuka keatas serta menyinggung X pada satu titik.
3. Jika a > 0 dan D < 0, maka parabola akan mempunyai nilai minimum dan terbuka ke atas namun tidak menyinggung sumbu X sama sekali.
4. Jika a < 0 dan D > 0, makaparabola akan mempunyai nilai maksimum dan terbuka dan terbuka ke bawah serta memotong sumbu X di dua titik yang berlainan.
5. Jika a < 0 dan D = 0, maka parabola akan mempunyai nilai maksimum dan terbuka ke bawah serta menyinggung X di satu titik
6. Jika a < 0 dan D < 0, maka parabola akan mempunyai nilai maksimal dan tidak menyinggung sumbu X.
Apabila fungsi kuadratnya adalah X=f(Y), maka :
Bentuk persamaan kuadratnya :
Maka parabola tersebut merupakan parabola horisontal yang mempunyai bentuk kurva menghadap ke kanan atau ke kiri. Apabila dikaitkan dengan diskriminan, ketentuan dalam macam-macam bentuk parabola seperti pada parabola yang berbentuk vertikal
Menggambar Fungsi Kuadrat
Untuk melukis grafik fungsi kuadrat kita harus memperhatikan langkah-langkah berikut ini :
Contoh :
Dari fungsi kuadrat/parabola y = -x² + 2x + 3, tentukan:
a. Koordinat titik potongnya
b. Koordinat titik ekstimnya
c. Koordinat titik potongnya
d. Grafik fungsi kuadratnya
e. Tentukan jenisnya (maksimum atau minimum)
Penyelesaian
FUNGSI KUBIK
Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga, ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga, bentuk umum fungsi kubik :
Setiap fungsi kubik setidaknya mempunyai sebuah titik belok (infexion point) yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau dari cembung menjadi cekung. Selain memiliki titik belok, fungsi kubik dimungkinkan memiliki titik ekstrim (maksimum dan/atau minimum) ada tidaknya titik ekstrim pada fungsi kubik tergantung kepada nilai a,b,c dan d dari persamaanya.
Bentuk kurva fungsi kubik ditunjukan gambar berikut ini :
FUNGSI TASIONAL
Fngsi rasional yang istimewa dan sering diterapkan dalam ilmu ekonomiadalah berbentuk :
Dimana a > 0
Kurva dari fungsi diatas adalah hiperbola segiempat dan mempunyai satu sumbu asimtot tegak yang berimpit dengan sumbu Y, dan satu sumbu asimtot datar yang berimpit dengan sumbu X. Jika nilai Y diperbesar, kurva hiperbola akan mendekati sumbu Y dan bila nilai X diperbesar kurva hiperbola akan mendekati sumbu X.
Jika sumbu asimtot tegak tidak berimpit dengan sumbu Y dan sumbu asimtot datar berimpin dengan sumbu X, maka bentuk umum dari fungsi rasionalnya adalah:
-
Modul matematika ekonomi 1 programstudi manajemen