PERTEMUAN KE- 9 POKOK BAHASAN FUNGSI
A. TUJUAN PEMBELAJARAN :
Adapun tujuan
pembelajaran yang akan dicapai setelah Anda mempelajari modul ini, secara
khusus Anda diharapkan dapat:
1.1. Mendiskripsikan
dan mengidentifikasikan konstan, dan variabel.
1.2. Menggambar
grafik suatu fungsi.
B. URAIAN MATERI
FUNGSI
PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI
Fungsi ialah suatu
bentuk hubungan matematis
yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan
fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.sebuah fungsi dibentuk
oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat
dalam setiap bentuk fungsi.Akan tetapi tidak demikiannya dengan konstanta.
Sebuah fungsi yang secara kongket dinyatakan dalam bentuk persamaan dan
pertidaksamaan, mungkin sekali mengandung sebuah konstanta dan mungkin juga
tidak mengandung konstanta. Walaupun sebuah persamaan atau pertidaksamaan tidak
mengandung konstanta, tidaklah mengurangi artinya sebuah fungsi.
Variabel ialah unsur pembentuk fungsi
yang mencerminkan atau mewakili
faktor tertentu, dilambangkan
(berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf
huruf latin. Dalam matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan
lazimnya ditulis dalam huruf-huruf kecil, melambangkan sumbu-sumbu dalam sistem
koordinat (absis dan ordinat). Dalam ekonomi tidak terdapat ketentuan bahwa
variabel dalam suatu persamaan harus dituliskan dengan huruf kecil. Berdasarkan
kedudukan atau sifatnya, didalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel
yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas (independent variable) ialah
variabel yang nilainya
tidak tergantung pada variabel lain,
 | |
 |
Fungsi polinm ialah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom mencerminkan derajat polinornnya, sekaligus juga mencerminkan derajat persamaan atau fungsi tersebut.
Bentuk umum fungsinya:
Fungsi linear ialah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu, sehingga sering juga disebut fungsi berderajat satu.
Bentuk umum fungsinya:Dimana: ao adalah konstanta dan nilai
Fungsi non-linier (fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi bikuadrat, dan sebagainya) yaitu fungsi-fungsi yang pangkat tertinggi lebih dari satu.
Fungsi kuadrat ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat dua dan sering juga disebut fungsi berderajat dua. Bentuk umum fungsinya:Dimana: ao adalah konstanta
a1 dan a2 adalah koefisien dan nilai
Fungsi berderajat n ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (dimana n merupakan bilangan nyata)
Bentuk umum fungsinya:Dimana:
ao adalah konstanta
a1 dan an adalah koefisien dan nilai
Fungsi pangkat ialah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan nyata yang bukan nol.
Bentuk umum fungsinya: Y = Xⁿ
Dimana : n = bilangan nyata dan.
Fungsi eksponensial ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol.
Bentuk umum fungsinya: Y = xn
Dimana : n = bilangan nyata dan n > 0.
Fungsi logaritmik ialah fungsi balik (inserve) dari fungsi eksponensial variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik.
Bentuk urnurn fungsinya: Y = nLog X
Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik ialah fungsi yang variabel bebasnya rnerupakan bilangan-bilangan goneornetrik.
Bentuk urnurn fungsi trigonometric: Y = Sin 5X Bentuk urnurn fungsi hiperbolik: Y = arc Cos 2X
Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya (x dan y), fungsi dibedakan rnenjadi dua jenis, yaitu:
1. Fungsi eksplisit yaitu fungsi yang variabel bebas (x) dan variabel terikatnya (y) terletak pada ruas yang berlainan.
2. Fungsi irnplisit yaitu fungsi yang variabel bebas (x) dan variabel terikatnya (y) terletak pada ruas yang sarna, baik sebelah kiri rnaupun sebelah kanan. Berikut ini bentuk operasional dari kedua fungsi di atas:
MENGGAMBARKAN GRAFIK FUNGSI LINIER
Setiap fungsi dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang surnbu
silang (sistern koordinat). Garnbar dari sebuah
fungsi dapat dihasilkan dengan cara
rnenghitung koordinat titik-titik yang rnernenuhi persarnaannya, dan kernudian
rnernindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistern surnbu silang. Dalarn
rnenggarnbarkan suatu fungsi rneletakkan variabel bebas pada surnbu horizontal (absis) dan variabel
terikat pada sumbu vertikal (ordinat).
Bentuk Urnurn
Fungsi Linier:
y= a + bx atau
y = rnx +
c
Dirnana:
a
atau c adalah konstanta atau potongan (intercept) garis
pada surnbu vertikal
y.
b atau m merupakan koefisien arah/lereng (slap e)/kemiringan/gradien garisnya. Koefisien nilai b atau m mencerminkan:
■
Besar tambahan
nilai y untuk setiap tambahan satu unit x,
■
Tangen dari sudut
yang dibentuk oleh garis y dan sumbu x.
(Catatan: koefisien arah dari sutu fungsi
kinier selalu konstan, untuk
setiap x)
Gambar dari
sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik
yang memenuhi persamaannya dan kemudian memindahkan pasangan pasangan titik
tersebut ke dalam sistem koordinat kartesius, dimana sumbu horizontal (absis)
merupakan letak dari nilai variabel bebasnya (x) dan sumbu vertical (ordinat) merupakan letak dari nilai
variabel terikatnya (y).
Untuk
menggambarkan grafik sebuah fungsi y = f(x), maka grafiknya adalah himpunan
semua titik (x,y) pada bidang.
Contoh:
Gambarkanlah grafik dari fungsi
linier berikut ini:
a. y= 3 + 2x
b. y= 8 - 2x Penyelesaian:
a.
Untuk fungsi
linier y = 3 + 2x , nilai konstanta a = 3 dan koefisien arah (b)
= 2. Perlu
diperhatikan apabila koefisien arah b bemilai positif (b>0), maka grafik garisnya
kan bergerak dari kiri bawah ke kanan atas.
Pasangan
berurutan fungsi y = 3 + 2x
Jika Nilai x | Nilai y = 3 + 2x | Pasangan bilangan (x,y) |
x=0 | y = 3 + 2 (0) = 3 | ( 0, 3) |
Nilai y = 3 + 2x | Pasangan bilangan (x,y) | |
x=l | y = 3 + 2 (1) = 5 | ( 1, 5) |
x=2 | y = 3 + 2 (2) = 7 | ( 2, 7) |
x=3 | y = 3 + 2 (3) = 9 | ( 3, 9) |
x=4 | y = 3 + 2 (4) = 11 | ( 4, 11 ) |
Grafik fungsinya
b. Untuk fungsi linier y = 8 - 2x , nilai konstanta a= 8 dan koefisien
arah (b)
= -2. Karena koefisien arah b bemilai
negatif (b < 0), rnaka grafik garisnya
kan bergerak dari kiri atas ke kanan bawah.
Pasangan berurutan fungsi y = 3 + 2x
Jika Nilai x | Nilai y = 8 - 2x | Pasangan bilangan (x,y) |
x=0 | y = 8 - 2 (0) = 8 | ( 0, 8) |
x=l | y=8 - 2(1)=6 | ( 1, 6) |
x=2 | y = 8 - 2 (2) = 4 | ( 2, 4) |
x=3 | y = 8 - 2 (3) = 2 | ( 3, 2) |
x=4 | y=8 - 2(4)=0 | ( 4, 0) |
Grafik fungsi -> y
= 8 - 2x
MENGGAMBARKAN GRAFIK FUNGSI NON-LINIER
Untuk menggambarkan grafik
fungsi non linier
tidaklah semudah menggambarkan grafik fungsi linier, hal ini dikarenakan
masing-masing fungsi non linier memiliki bentuk khas tertentu mengenai kurvanya, sehingga diperlukan ketelitian dalam
pembuatan grafiknya.
Berikut ini disajikan
beberapa bentuk gambar dari beberapa fungsi non-linier:
1. Menggambar Funsi Kuadrat
Bentuk Umum fungsi kuadrat:
Contoh:
Gambarkan grafik fungsi dari y = -x2 + 2x + 3
Jawab:
Jika Nilai x | Nilai y = -x2 + 2x + 3 | Pasangan bilangan (x,y) |
X = -1 | y = -(-1)² + 2(-1) + 3 = 0 | ( -1, 0) |
x=0 | y = -(0)² + 2(0) + 3 = 3 | ( 0, 3) |
x=l | y=-(1)² +2(1)+3=4 | ( 1, 4) |
Nilai y = -x2 + 2x + 3 | Pasangan bilangan (x,y) | |
x=2 | y = -(2)² + 2(2) + 3 = 3 | ( 2, 3) |
x=3 | y = -(3)² + 2(3) + 3 = 0 | ( 3, 0) |
Grafik fungsi kuadrat dari y = -x2
+ 2x + 3
 |
2. Menggambar Grafik Fungsi Kubik
Contoh:
Gambarkan
grafik fungsi dari y = -2 + 4x2 - x3 Jawab:
Grafik dari fungsi y = -2 + 4x2 - x3
3. Menggambar Grafik Fungsi
Eksponensial
Gambarkan grafik fungsi dari y = (1/2)x
Grafik fungsi eksponen:
C.
LATIHAN SOAL/TUGAS
Gambarkan grafik fungsi linear dan
fungsi kuadrat berikut berikut :
1. y = 8 + 3x
2. y=2x+ 10
3. y= 10-4x
4. y = 5x-10
5. y
= 6 - 2x + x2
6.
Gambarkan grafik berikut ini dengan menggunakan tabel:
a.
f(x) = 2/x
;jika 1 :S x :S 4
b.
f(x) = 2x
- 1 , jika 2 :S x :S 4
c.
y = x2 + 4x - 3 ;
jika -2 :S x :S 1
7.
Gambarkan grafik dari fungsi eksponen y = 2x.
*****
Download Modul .pdf
D. DAFTARPUSTAKA
Badrudin, R. & Algifari. 2003.
Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFE
y ogyakarta.
Dumairy, 2010.
Matematika Terapan untuk
Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta.
Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007.
Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi
dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima.
Jakarta: Salemba Empat.
Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan
Ekonomi, Jakarta:
Mitra Wacana Media.
Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia,
Jakarta, 2002.