PERTEMUAN KE- 5 POKOK BAHASAN
PANGKAT, AKAR & LOGARITMA
A. TUJUAN PEMBELAJARAN :
Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu untuk memahami pengertian perpangkatan, akar logaritma, dan mampu memahami kaidah-kaidah yang berlaku serta penerapannya di dalam ekonomi.
Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat:
1.1. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma.
1.2. Mengidentifikasikan pangkat, akar dan logaritma.
1.3. Menyebutkan kaidah-kaidah yang berlaku dalam perpangkatan, akar dan logaritma.
1.4. Menggunakan kaidah-kaidah pangkat, akar dan logaritma untuk menyelesaikan soal-soal
1.5. Menjelaskan fungsi eksponensial.
B. URAIAN MATERI
PANGKAT, AKAR & LOGARITMA
LOGARITMA
Logaritma pada hakikatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran.ia dapat dipakai untuk menyederhanakan operasi-operasi perkalian, pembagian, pencarian pangkat dan penarikan akar. Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.
Andaikata sebuah bilangan berpangkat (xa) sama dengan bilangan positif tertentu (m) maka dalam bentuk pemangkatan kita dapat menuliskannya menjadi :
xa = m
Dimana:
x adalah basis dan a adalah pangkat,
Pangkat a tersebut juga logaritma dari m terhadap basis x, yang jika dituliskan dalam bentuk logaritma menjadi :
Bilangan pokok (basis) logaritma,x dalam contoh diatas dapat dituliskan dipojok kiri atas dari tanda log (singkatan logaritma) atau dipojok kanan bawah dari tanda tersebut. Berdasarkan kesamaan bentuk pemangkatan dan logaritma sebagaimana di tunjukan diatas, kita dapat pula menarik analog untuk pernyataan pernyataan dibawah ini :
Selain dengan bentuk pemangkatan,bentuk logaritma juga erat berhubungan dengan bentuk pengakaran, keeratan hubungan antara ketiga macam bentuk ini dapat dilihat sebagi berikut:
Dalam pemangkatan, kita mengetahui basis, (x) serta pangkat ( a ), dan ingin mengetahui bilangan yang merupakan hasil pemangkatan basis tersebut (yaitu m ). Radikan (m) serta pangkat dari akarnya (a),dan ingin mengetahui hasil pengakaran radikan tadi (yaitu x). Sedangkan dalam logaritma, kita mengetahui basis logaritma
(x) serta bilangan logaritma (m),dan ingin mengetahui hasil logaritmanya (yaitu a). Perhatikan kedudukan a, m dan x pada masing-masing bentuk di atas. Bilangan a yang merupakan hasil logaritma, tak lain adalah pangkat dari basis dalam bentuk pangkat dan pangkat dari akar dalam bentuk akar. Sedangkan m yang merupakan hasil pemangkatan, tak lain adalah radikan dalam bentuk akar dan bilangan logaritma dalam bentuk logaritma. Adapun x yang merupakan hasil
pengakaran, tak lain adalah basis baik dalarn bentuk pangkat rnaupun dalarn benuk logaritrna.
1. Basis logaritma
Logaritrna dapat dihitung untuk basis berapapun. Akan teteapi pada urnurnnya basis logaritrna selalu berupa bilangan positif dan tidak sarna dengan satu. Basis logaritrna yang paling lazirn dipakai, kama pertirnbangan praktis dalarn penghitungan, adalah bilangan 10. Karena kelazirnan tersebut rnaka basis 10 ini pada urnurnnya tidak dicanturnkan dalarn notasi logaritrna.
Dengan demikian log m berarti ¹⁰log m. ¹⁰log65 dapat dituliskan rnenjadi log 65 saja. (uraian-uraian selanjutnya didalarn buku ini juga rnengikuti kelaziman tersebut; untuk setiap notasi logaritrna yang tidak rnencanturnkan basis tertentu, berarti rnerupakan logaritrna berbasis 10).
Logaritrna berbasis 10 disebut juga logaritrna biasa,(common logarithm) atau logaritrna briggs (berdasarkan narna penernunya,henry briggs,1561-1630) . Di sarnping bilangan 10,basis lain yang juga lazirn yang dipakai dalarn logaritrna adalah bilangan e (e = 2,718287 atau sering diringkas rnenjadi 2,72 ). Logaritma berbasis e disebut juga logaritrna alarn (natural logarithm) atau logaritrna napier (john,napier, penernunya hidup antara tahun 1550-1617) jika notasi logaritrna briggs dilarnbangkan dengan log, rnaka logaritrna napier dilarnbangkan dengan ln. Dengan dernikian ln m berarti ͤlog m, juga ͤlog 65 dapat dituliskan rnenjadi ln 65 saja.
2. Kaidah-kaidah logaritma
3. Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
Logartitrna dapat digunakan untuk rnencari bilangan yang belurn diketahui (bilangan anu) dalarn sebuah persarnaan, khususnya persarnaan eksponensial dan persarnaan logaritrnik. Persarnaan eksponensial ialah persarnaan yang bilangan anunya berupa pangkat, rnisalnya 5x = 125 dan 3x+l = 27. Sedangkan persarnaan logaritrnik ialah persarnaan yang bilangan anunya berupa bilangan logaritrna, sebagai contoh log(3x + 298) = 3.
Untuk rnenyelesaikan sebuah persarnaan eksponensial dengan rnenggunakan logaritrna pertarna-tarna logaritrnakan dulu kedua ruas persarnaan, kernudian selesaikan bilangan anunya berdasarkan persarnaan logaritrnik yang baru terbentuk.
Contoh Soal:
PENERAPAN EKONOMI
Dalam penerapannya di bidang ekonomi, logaritma diterapkan bersama- sama dengan bentuk-bentuk matematika yang lain seperti fungsi eksponensial dan pangkat. Adapun kegunaannya adalah untuk mempermudah pemecahan masalah terutama untuk bilangan yang mengandung pangkat terlalu besar. Contoh-contoh aplikasi logaritma m1 di antaranya adalah dalam bunga-berbunga dan fungsi-fungsi pertumbuhan
Contoh:
Bimo mempunyai uang senilai Rp. 10.000.000,00. Ia akan mendepositokannya di bank untuk jangka waktu 2 tahun (24 bulan) dan akan diambil pada bulan ke 25. Jika tingkat suku bunga yang berlaku adalah 1% per bulan , maka berapakah jumlah uang Bimo 2 tahun kemudian?
Penyelesaian:
Jadi uang Bimo setelah 2 tahun menjadi sebesar Rp. 12.697.346,46
Download Modul .pdf
C. LATIHAN SOAL/TUGAS
1. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan notasi logaritma
2. Nyatakan tiap bentuk di bawah m1 dengan memakai notasi pangkat (eksponen)
3. Hitunglah nilai tiap logaritma berikut
4. Tentukanlah nilai x jika:
5. Selesaikanlah soal berikut ini!
D. DAFTAR PUSTAKA
Badrudin, R. & Algifari. 2003. Maternatika Bisnis. Yogyakarta: BPFE
yogyakarta.
Durnairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta.
Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007.
Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelirna.
Jakarta: Salernba Empat.
Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media.
Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.