PERTEMUAN KE- 8 POKOK BAHASAN
PENERAPAN BARISAN DAN DERET
A. TUJUAN PEMBELAJARAN :
Pada bab ini akan dijelaskan rnengenai penggunaan barisan dan deret dalarn rnenyelesaikan rnasalah ekonorni. Melalui risetasi, Anda diharapkan rnarnpu:
1.6. Menggunakan Barisan dan deret dalarn rnenyelesaikan permaslahan ekonorni.
B. URAIAN MATERI
PENERAPAN BARISAN DAN DERET
PENERAPAN DERET HITUNG DALAM EKONOMI
Prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk rnenelaah perilaku bisnis dan ekonorni, baik secara langsung rnaupun secara tidak langsung. Prinsip deret hitung banyak diterapkan dalarn rnenganalisa perilaku perkernbangan kegiatan usaha rnisalnya poduksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanarnan modal. Sedangkan prinsip deret ukur bersarna-sarna dengan konsep logaritrna rnenganalisa perilaku perturnbuhan . Oleh karena itu prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk rnenganalisa perkernbangan variabel-variabel kegiatan usaha tersebut. Berpola seperti deret hitung disini rnaksudnya adalah variabel yang bersangkutan bertarnbah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya
Contoh Soal
1. Perusahaan "ASY -SHYFA BUSANA" rnernproduksi 2500 unit pakaian anak anak pada tahun pertarna dan produksinya rnengalarni peningkatan sebanyak 100 unit setiap tahunnya. Berapa produksi pakaian anak-anak tersebut pada tahun ketiga dan berapakah produksi pakaian anak-anak tersebut sarnpai dengan tahun ketiga ?
2. Besar penerirnaan PT "Mltra Keluarga" dari hasil penjualan barangnya Rp. 720.000.000 pada tahun kelirna dan Rp. 980.000.000 pada tahun ketujuh. Apabila, perkernbangan penerirnaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung.
a. Berapa perkernbangan penerirnaanya per tahun?
b. Berapa besar penerirnaan pada tahun pertarna dan pada tahun keberapa
penerirnaannya sebesar Rp. 460.000.000?
PENERAPAN DERET UKUR DALAM BIDANG EKONOMI
1. Model Bunga Majemuk
Model Bunga Majernuk rnerupakan Deret Ukur dalarn kasus sirnpan pinjarn dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung nilai modal di rnasa yang akan datang ditambah dengan akumulasi penambahan bunga, rnisalnya besamya pengernbalian kredit di masa yang akan datang berdasarkan tingkat bunganya, rnengukur nilai sekarang dari suatu jurnlah hasil investasi yang akan diterirna di rnasa yang akan datang, dan sebagainya.
Rurnus Bunga Majernuk :
Dimana:
Fn = Jurnlah Investasi di rnasa yang akan datang
P = Jurnlah Investasi sekarang / present value
i = Tingkat bunga per tahun n = Jurnlah tahun
m = Frekuensi pernbayaran bunga dalarn setahun
Contoh:
Seorang nasabah bank meminjam uang di Bank sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 % per tahun.
a. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikannya pada saat pelunasan?
b. Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan?
Jawab:
2. Model Bunga Sinambung
Jika frekuensi pembayaran bunga per tahun (m) sangat besar, bunga yang diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun, maka model deret ukur yang digunakan adalah metode deret ukur tak terhingga atau sinambung. [ Fn = P. e. n )
Dimana:
e = eksponen = 2,718
Contoh:
Nyonya Shoffa mempunyai tabungan deposito darurat dari bank pemerintah pada masa perang dengan Malaysia dengan frekuensi pembayaran bunga setiap 7 menit sekali selama 10 tahun. Nilai tabungan nyonya Shoffa di bank senilai Rp 7.500.000 pada saat pertama kali setoran. Berapakah jumlah uang nyonya Shoffa 10 tahun lagi?
Jawab:
Fn = P.e.n Dimana e : 2,718
F₁₀ = (7.500.000) (2,718) (10)
= Rp 203 850 000
3. Model Present Value
Present value (nilai sekarang) merupakan kebalikan dari compound value (nilai majemuk) adalah besarnya jumlah uang, pada permulaan periode atas dasar tingkat tertentu dari sejumlah uang yang baru akan kita terima beberapa waktu/ periode yang akan datang.
Contoh:
Tuan Bayu mempunyai tabungan deposito dengan nilai Rp 7.500.000 dengan tingkat bunga sebesar 5%/tahun, pembayaran dilakukan per tahun. Tuan Bayu telah menabung semenjak 5 tahun yang lalu tanpa menyetor sekalipun setelah setoran yang pertama itu. Berapakah saldo tuan Bayu 5 tahun sebelumnya (Pn)?
Jawab:
4. Metode Pertumbuhan Penduduk
Metode ini dinyatakan oleh Malthus, Beliau rnenyatakan bahwa perturnbuhan penduduk dunia dipengaruhi oleh deret ukur atau perubahan berdasarkan rasio tertentu.
Dirnana:
R = l+r
Pt = Jurnlah penduduk pada tahun ke-t
P1 = Jurnlah penduduk pada tahun pertarna (basis)
r = persentase perturnbuhan per-tahun t = indeks waktu (tahun)
Contoh:
Penduduk suatu kota berjurnlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat perturnbuhannya 4% per tahun.
a. Hitunglah jurnlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006.
b. Jika rnulai tahun 2006 perturnbuhannya rnenurun rnenjadi 2,5%, berapa jurnlahnya 11 tahun kernudian ?
Jawab:
Diketahui:
C. LATIHAN SOAL/TUGAS
1. Perusahaan genteng "Sokajaya" menhasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan ke 12 ?
2. Besarnya penerimaan P.T Ccemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung.
a. Berapa perkembangan penerimaannya pertahun?
b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta?
3. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan.
a. Berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?
b. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?
4. Ida meminjam uang pada koperasi tempat kerjanya sebesar Rp 3.000.000,00. Ia akan mengangsur Rp 200.000,00 per bulan ditambah 10 % dari sisa hutangnya sebagai bunga. Tentukan jumlah keseluruhan bunga yang dibayamya setelah hutangnya lunas !
5. Amir meminjam uang pada koperasi tempat kerjanya sebesar Rp 2.000.000,00. Ia akan mengangsur Rp 200.000,00 per bulan ditambah 2 % dari sisa hutang nyasebagaibunga. Tentukan:
a. Jumlah keseluruhan bunga yang dibayamya setelah hutangnya lunas !
b. Besamya angsuran pada bulan ke-5 !
c. Jumlah total pembayaran Amir hingga hutangnya lunas !
6. Rudi merencanakan membeli rumah seharga Rp 90.000.000 yang akan diangsur selama 15 tahun . Jika pengembang mengenakan bunga sebesar 12% per tahun tentukan besamya angsuran per bulannya !
7. Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1980, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2000 dan tahun 2010!
8. Penduduk suatu negara tercatat 25 juta jiwa pada tahun 1980. Berapa jumlah penduduk pada tahun 1990 dan 2000, jika tingkat pertumbuhannya 3% per tahun?
Download Modul .pdf
D. DAFTARPUSTAKA
Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta.
Dumairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta.
Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007.
Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelima.
Jakarta: Salemba Empat.
Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media.
Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.