PERTEMUAN KE- 6
POKOK BAHASAN BARISAN DAN DERET
A. TUJUAN PEMBELAJARAN :
Adapun tujuan pembelajaran yang akan dicapai setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat:
1.1. Membedakan pengertian barisan dan deret.
1.2. Menentukan suku ke-n deret hitung (Aritmetika).
1.3. Menentukanjumlah sampai suku ke-n deret hitung (Aritmetika)
B. URAIAN MATERI
BARISAN DAN DERET
Barisan (sequences) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara suku-suku yang berururtan ditentukan oleh suatu ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.
Suatu barisan bila dilihat dari segi perubahan di antara suku-suku yang berurutan mempunyai duajenis, yaitu: Barisan aritmatika dan barisan geometri. Bila dilihat dari banyaknya suku, barisan dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu : barisan terhingga (finite) dan barisan tak terhingga (infinite).
Deret (series) adalahjumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Bila dilihat dari perubahan di antara suku suku berurutan, maka deret dapat dibagi menjadi dua yaitu : deret aritmatika dan deret geometri. Deret geometri bila dilihat dari banyaknya suku maka deret tersebut dapat dibagi menjadi dua, yaitru : deret geometri terhingga (finite geometric series) dan deret geometrik tak terhingga (infinite geometric series). Deret geometric terhingga adalah deret yang mempunyai kelompok bilangan tertentu, sedangkan deret geometrik tak terhingga adalah deret yang mempunyai kelompok bilangan yang tidak terbatas.
Deret tak terhingga (infinite) dapat dibagi lagi rnenjadi dua, yaitu deret geornetrik tak tentu konfergen dan deret geornetrik tak tentu divergen. Deret tak tentu konvorgen adalah deret yang rnernpunytai nilai bilangan nyata, sedangkan deret tak tentu divergen adalah suatu deret yang tidak rnaenghasilkan nilai bilangan nyata.
Untuk rnernbedakan diantara deret tak tentu kovergen dan divergen notasi berikut ini. jika Si rnewakili suatu bilangan dalarn barisan dan b adalah bilangan nyata, rnaka deret tertentu konvergen adalah :
DERET HITUNG (ARITMATIKA)
Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.
Contoh:
1). 7, 12, 17, 22, 27, 32 (Pembeda = 5)
2). 93, 83, 73, 63, 53, 43 (Pembeda = -10)
SUKU Ke-n (Un) DERET HITUNG
Suatu barisan ( sequence ) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk rnenurut urutan tertentu. Misalnya: 7, 12, 17, 22, 27, 32 ,. . ..
Masing-rnasing suku dalarn barisan setelah suku pertarna diperoleh dengan cara rnenarnbahkan nilai 5 pada suku sebelurnnya atau suku yang rnendahuluinya .
dan seterusnya sarnpai suku ke-n (Un).
Barisan diatas rnenyatakan bahwa selisih atau perbedaan nilai diantara dua suku yang berurutan rnernpunyai beda yang konstan. Barisan seperti ini disebut barisan aritmatika (arithmetic sequence). Barisan aritrnatika adalah suatu barisan dirnana selisih di antara dua suku yang berurutan rnernpunyai nilai yang konstan. Nilai konstan ini biasanya dilarnbangkan dengan huruf b, barisan aritrnatika ini ditentukan nilai suku ke-n jika suku pertarna a dan beda yang sarna b deketahui sebagai berikut.
Koefisien dari b dalarn suku-suku tertentu adalah lebih besar dari satu. Suku ke-n atau suku terakhir dalarn suatu barisan aritrnatika adalah :
Un = a + ( n-l ) b
Dirnana:
Un = Suku ke-n
a = Suku pertarna
b = beda yang sarna
n = banyaknya suku
Contoh 1:
Tentukan suku ke-10 (U₁₀) dari barisan 3000, 3500, 4000, ....
Jawab:
a = Suku Pertarna = 3.000
b = Pernbeda = U₂-U₁ = 3500-3000 500
n = 10
Nilai dari Us adalah :
Us =a + ( n- 1 ) b
= 3.000 + (10 - 1 ) 500
= 3.000 + 4.500
= 7.500
Contoh 2:
Carilah suku ke-21 dalarn suatu barisan aritrnatika jika diketahui suku ke -5 dan suku ke-11 adalah 41 dan 23.
Penyelesaian :
JUMLAH SAMPAI SUKU Ke-n (Du) DERET HITUNG:
Selanjutnya, yang dirnaksud dengan deret aritrnatika adalah jurnlah dari suku- suku dalarn suatu barisan aritrnatika . Bentuk deret aritrnatika ini adalah sebagai berikut.
Hal tersebut dapat dinyatalan secara urnurn sebagai berikut :
Untuk memperoleh jumlah suku-suku ke-n atau Dn dari suatu barisan aritmatika dengan a sebagai suku pertama dan b sebagai beda yang sama, maka rumusnya adalah:
Contoh 3:
Tentukanjumlah bilangan sampai suku ke-10 (U₁₀) dari barisan 3000, 3500, 4000,
Jawab:
C. LATIHAN SOAL/TUGAS
1. Dari sebuah deret hitung yang suku pertamanya 200 dan pembeda antar suku sukunya 25, hitunglah:
a. Suku ke 15 (U₁₅).
b. Jumlah sampai suku ke 15 (D₁₅)
2. Hitunglah U₄, U₁₅ dan D₁₀ dari suatu deret hitung yang suku pertamanya 1000 dan pembeda antar sukunya -50.
3. Jika Suku pertama deret hitung 100 dan suku ke tujuh 160, Tentukanlah nilai:
a. Beda antar suku (b)
b. Suku ke 20 (U₂₀)
c. Suku ke-n untuk Un= 250
4. Deret hitung X mempunyai nilai a = 180 dan b = -10, sedangkan deret hitung Y mempunyai nilai
a = 45 dan b = 5. Pada suku berapa kedua deret ini mempunyai nilai yang sama?
Download Modul .pdf
D. DAFTARPUSTAKA
Badrudin, R. & Algifari. 2003. Matematika Bisnis, Yogyakarta: BPFE y ogyakarta.
Durnairy, 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, BPFE, Yogyakarta.
Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007.
Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelirna.
Jakarta: Salernba Empat.
Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media.
Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.