PERTEMUAN KE- 1
POKOK BAHASAN HIMPUNAN [1]
A. TUJUAN PEMBELAJARAN :
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai himpunan serta operas1- operasinya. Melalui risetasi, Anda diharapkan mampu:
- 1.1.Mendiskripsikan dan mengidentifikasikan suatu himpunan.
- 1.2.Menyajikan dan membandingkan beberapa himpunan.
- 1.3.Menunjukkan hasil operasi beberapa himpunan.
B. URAIAN MATERI
HIMPUNAN
Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda dengan cm-cm tertentu. Objek atau benda yang termasuk dalam himpunan ini disebut anggota/unsur/elemen himpunan. Suatu himpunan dapat ditentukan dengan menyajikan daftar anggotanya, atau dengan menyebutkan ketentuan khusus yang menetapkan apakah sesuatu objek / benda termasuk anggota himpunan atau bukan. Nama lain untuk anggota suatu himpunan adalah elemen unsur dan untuk menyatakan anggota suatu himpunan.
JENIS-JENIS HIMPUNAN
- Himpunan Semesta {U} atau {S} adalah himpunan semua objek yang sedang dibicarakan.
- Himpunan kosong { } adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.
- Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terbatas.
- Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas .
- Bilangan kardinal {n(H)} adalah bilangan yang menyatakan banyak anggota himpunan.
PENYAJIAN HIMPUNAN
- Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K, Y, atau Z.
- Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol "{..... }".
- Untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y, , atau Z.
- Perlu diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja Jadi tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}.
- Cara Penyajian Himpunan:
a. Cara Daftar:
Yaitu dengan mencanturnkan seluruh obyek yang menjadi anggota himpunan.
Contoh:
Jika A adalah himpunan anggota bilangan asli yang kurang dari 6. Tentukan penyajian anggota himpunan A dengan cara daftar!
Jawab: A= {1,2,3,4,5}
b. Cara Kaidah:
Yaitu dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut.
Contoh:
Jika A adalah himpunan anggota bilangan asli yang kurang dari 6. Tentukan penyajian anggota himpunan A dengan cara kaidah!
A = {x I 0 < x < 6}
DIAGRAM VENN
DiagramVenn digunakan untuk menggambarkan hubungan antar himpunan. Himpunan digambarkan sebagai daerah lingkaran, sedangkan semesta sebagai daerah empat persegi panjang.
HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN
1. Himpunan bagian/subset
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika semua anggota himpunan A merupakan anggota dari himpunan B (ditulis Ac B) . Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dapat dinyatakan dengan diagram Venn seperti pada Gambar berikut ini.
Contoh: A= {1,2,3} dan B = {1,2,3,4,5}, maka Ac B = {1,2,3}
2. Himpunan Ekivalen
Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B (ditulis ditulis A~ B),jika banyaknya anggota dari kedua himpunan tersebut sama.
Contoh: A= {a, b, c, d}; B = {1, 2, 3, 4} Adan B dikatakan himpunan yang ekuivalen.
Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B (ditulis A~ B), jika: n(A) = n(B).
3. Himpunan sama
Himpunan A dan B merupakan himpunan yang sama jika setiap anggota A merupakan anggota B dan setiap anggota B merupakan anggota A. Misalnya A
= {1, 2, 3} dan B = {3, 2, 1} dapat dikatakan himpunan A sama dengan himpunan B (ditulis A= B). Dengan diagram Venn dapat dinyatakan seperti pada Gambar berikut ini.
4. Himpunan kuasa/superset
Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A. Termasuk himpunan kosong
dan himpunan A sendiri (ditulis n(P(A) = 2n ( A) ).
Contoh: A= { 1, 2, 3}
P(A) = { 0 , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,,3} }
5. Himpunan Lepas
Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota himpunan A dan B yang sama. Himpunan A saling lepas dengan himpunan B (A // B). Himpunan saling lepas dari himpunan Adan B dinyatakan dengan diagram Venn seperti pada Gambar berikut ini.
Contoh : A= {1,2,3} dan B = {4,5,6} , maka A // B
6. Himpunan berpotongan/joint
Himpunan A dan B dikatakan saling berpotongan jika ada anggota himpunan A dan B yang sama. Himpunan A berpotongan dengan himpunan B dapat ditulis AnB. Himpunan yang berpotongan dapat dinyatakan dengan diagram Venn pada Gambar berikut ini.
Contoh: A= {1,3,5,7} dan B = {3,5,7,9} Jadi dikatakan AnB = {3,5}
OPERASIAN HIMPUNAN
Operasi himpunan berbeda dengan operasi himpunan bilangan biasa. Karena operasi matematis untuk bilangan biasa misalnya, menambah, mengurangi, mengali, membagi, dan lain sebagainya. Tetapi operasi himpunan adalah meliputi: gabungan (union), irisan (intersection), selisih, dan pelengkap (complement).
1. Gabungan (Union) dilambangkan "U"
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan baru yang berisikan elemen-elemen baik yang dimiliki oleh A maupun B.
Contoh:
Jika diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, himpunan A= { 1, 3, 4, 6, 7} dan B
= { 1, 2, 4, 5 }. Tentukan anggota himpunan A U B !
Jawab:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A= { 1, 3, 4, 6, 7 }
B = { 1, 2, 4, 5 }
AU B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Diagram Venn A U B
2. Irisan (Intersection) dilambangkan "n"
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan barn yang berisikan elemen-elemen milik Adan B, yang dimiliki oleh Adan B secara bersama-sama.
Contoh:
Jika diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, himpunan A= { 1, 3, 4, 6, 7 } dan B = { 1, 2, 4, 5 }. Tentukan anggota himpunan An B dan gambarkan diagram Venn-nya!
Jawab:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A= { 1, 3, 4, 6, 7}
B = { 1, 2, 4, 5 } AnB={l,4}
Diagram Venn A n B
3. Selisih (Difference) dilambangkan "-"
Selisih dari himpunan A dan himpunan B dituliskan dengan notasi A - B adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A yang bukan obyek milik B.
Contoh:
Jika diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, himpunan A= { 1, 3, 4, 6, 7 } dan B = { 1, 2, 4, 5 }. Tentukan anggota himpunan A - B dan S - A serta gambarkan diagram Venn-nya!
Jawab:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A= { 1, 3, 4, 6, 7 }
B = { 1, 2, 4, 5 }
A - B = { 3, 6, 7}
(a) Diagram Venn A - B
S - A= { 2, 5, 8}
(b) Diagram Venn S - A
4. Pelengkap (Complement) dari A dinotasikan " A',
, A " Pelengkap dari sebuah himpunan A, dituliskan dengan notasi
, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh himpunan A. Contoh:
Jika diketahui S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } dan A= { 1, 4, 6, 7 }. Tentukan anggota himpunan A' dan gambarkan diagram Venn-nya!
Jawab:
A'= {2, 3,5,8}
Diagram Venn A'
5. Bilangan Kardinal
Bilangan kardinal yaitu bilangan yang menyatakan banyaknya unsur/anggota pada suatu himpunan. Banyaknya unsur himpunan A (bilangan kardinal himpunan A) ditulis dengan lambang n(A). Bilangan kardinal dari himpunan hampa n(
) = 0. Contoh:
Tentukan himpunan kardinal dari:
a. A={1,3,5,7} ;
b. N={l /2, 1/3, ¾} ;
c. P = {Dosen Unpam} ;
d. R={l,2,3,4, ...}
Jawab:
a. n(A) = 4;
b. n(N) = 3;
c. n(P) tidak dapat ditentukan jumlahnya.
d. n(R) =
***
C. LATIHAN SOAL/TUGAS
1. Diketahui himpunan semesta S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
A= {1,2,3,4,5}; B={l,3,5,7,9} ; dan C ={6,8}.
Tentukan:
2. Dari soal di atas gambarkan diagram Venn, himpunan A, B, C, dan S kemudian arsirlah himpunan yang ditanyakan!
3. Gambarkan sebuah diagram Venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A= {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 4, 7, 8}
Kemudian selesaikan :
(a). A - B
(b). B - A
(c). A n B
(d). A U B
(e). A U B
(f). B n A
4. Gambarkan sebuah diagram Venn yang menunjukkan himpunan universal U serta himpunan Universal U serta himpunan-himpunan bagian A dan B untuk:
U = { x; 3 < X < 14}
A= { 6, 7, 9, 10, 13}
B = { 4, 5, 11}
Kemudian selesaikan :
(a). A - B
(b). B - A
(c). A n B
(d). A n B
(e). A U B
(f). A U B
Download Modul .pdf
D. DAFTAR PUSTAKA
Buku
Badrudin, R. & Algifari. 2003. Maternatika Bisnis. Yogyakarta: BPFE
yogyakarta.
Durnairy , 2010. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi,
BPFE, Yogyakarta.
Danang Sunyoto, Matematika Ekonomi, Ardana, Yogyakarta, 2007.
Kalangi, JB. 2005, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Jilid 1. Cetakan kelirna. Jakarta: Salernba Ernpat.
Silaen, S.. 2011, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Jakarta: Mitra Wacana Media.
Supranto. J, Matematika untuk Bisnis dan Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta, 2002.